۱_ اگر پاره‌خط‌های AB، BC، CD و DE با هم برابر باشند، تساوی‌ها را با نوشتن عدد مناسب کامل کنید.
چون تمام پاره‌خط‌های کوچک (AB, BC, CD, DE) با هم برابر هستند، می‌توانیم طول پاره‌خط‌های بزرگ‌تر را به صورت مضربی از یکی از آنها (مانند AB) بنویسیم.
- **$\overline{AC} = \_\_\_ \overline{AB}$**
پاره‌خط AC از دو بخش مساوی AB و BC تشکیل شده است. پس طول آن دو برابر طول AB است.
$$\overline{AC} = ۲ \overline{AB}$$
- **$\overline{CE} = \_\_\_ \overline{AE}$** (با فرض اینکه منظور $\overline{AB}$ است)
پاره‌خط CE از دو بخش مساوی CD و DE تشکیل شده است. پس طول آن دو برابر طول AB است.
$$\overline{CE} = ۲ \overline{AB}$$
- **$\overline{AE} = \_\_\_ \overline{BE}$** (با فرض اینکه منظور $\overline{AB}$ است)
پاره‌خط AE از چهار بخش مساوی تشکیل شده است. پس طول آن چهار برابر طول AB است.
$$\overline{AE} = ۴ \overline{AB}$$
- **$\overline{BC} = \_\_\_ \overline{BC}$**
طول هر پاره‌خط برابر با یک برابر خودش است.
$$\overline{BC} = ۱ \overline{BC}$$
۲_ در شکل مقابل نقاط A، B، C و D روی یک خط قرار گرفته‌اند. می‌دانیم $\overline{AB} = \overline{CD}$. کدام پاره‌خط هم اندازهٔ AC است؟ چرا؟
پاره‌خطی که هم‌اندازه AC است، پاره‌خط **BD** است.
**چرا؟**
برای اثبات این موضوع، هر دو پاره‌خط را به اجزای تشکیل‌دهنده‌شان تفکیک می‌کنیم:
1. طول پاره‌خط AC برابر است با مجموع طول‌های AB و BC:
$$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$$
2. طول پاره‌خط BD برابر است با مجموع طول‌های BC و CD:
$$\overline{BD} = \overline{BC} + \overline{CD}$$
در صورت سؤال گفته شده که $\overline{AB} = \overline{CD}$ است. بنابراین، می‌توانیم در رابطه دوم، به جای $\overline{CD}$ مقدار مساوی آن یعنی $\overline{AB}$ را قرار دهیم. در نتیجه:
$$\overline{BD} = \overline{BC} + \overline{AB}$$
همانطور که می‌بینید، هر دو پاره‌خط AC و BD از مجموع دو پاره‌خط یکسان ($verline{AB}$ و $verline{BC}$) تشکیل شده‌اند، پس با هم برابر هستند.
۳_ اگر روی یک خط راست ۱۰ نقطه بگذارید، چند نیم‌خط به وجود می‌آید که سر آنها روی این نقاط باشد؟ چرا؟
اگر روی یک خط راست ۱۰ نقطه بگذاریم، **۲۰ نیم‌خط** به وجود می‌آید.
**چرا؟** ↔️
یک خط راست از دو طرف بی‌نهایت ادامه دارد. هر نقطه‌ای که روی این خط قرار می‌گیرد، می‌تواند مبدأ (نقطه شروع) دو نیم‌خط باشد:
1. یک نیم‌خط که از آن نقطه شروع شده و به سمت راست بی‌نهایت ادامه دارد.
2. یک نیم‌خط که از همان نقطه شروع شده و به سمت چپ بی‌نهایت ادامه دارد.
چون ما **۱۰ نقطه** داریم و از هر نقطه **۲ نیم‌خط** می‌توان رسم کرد، تعداد کل نیم‌خط‌ها برابر است با:
$$۱۰ \; (\text{نقطه}) \times ۲ \; (\text{جهت}) = ۲۰ \; (\text{نیم‌خط})$$
۴_ مثلث ABC متساوی الساقین است؛ یعنی $\overline{AB}=\overline{AC}$. نقطهٔ M وسط AB و نقطهٔ N وسط AC است. چرا $\overline{AN}=\overline{AM}$؟
پاره‌خط $\overline{AN}$ با $\overline{AM}$ برابر است، زیرا **نصف مقدارهای مساوی، با هم برابر هستند.**
**توضیح مرحله به مرحله:**
1. صورت مسئله به ما می‌گوید که مثلث متساوی‌الساقین است، پس ساق‌های آن با هم برابرند: $\overline{AB} = \overline{AC}$.
2. نقطه M وسط پاره‌خط AB است، پس $\overline{AM}$ نصف $\overline{AB}$ است: $\overline{AM} = \frac{۱}{۲}\overline{AB}$.
3. نقطه N وسط پاره‌خط AC است، پس $\overline{AN}$ نصف $\overline{AC}$ است: $\overline{AN} = \frac{۱}{۲}\overline{AC}$.
از آنجایی که $\overline{AB}$ و $\overline{AC}$ با هم برابرند، نصف آنها نیز با هم برابر خواهد بود. بنابراین:
$$\overline{AB}=\overline{AC} \implies \frac{۱}{۲}\overline{AB} = \frac{۱}{۲}\overline{AC} \implies \overline{AM} = \overline{AN}$$
۴_ نقطهٔ C وسط پاره‌خط AB، نقطهٔ D وسط پاره‌خط AC و نقطهٔ E وسط پاره‌خط AD است. AB چند برابر AE است؟
طول پاره‌خط AB، **۸ برابر** طول پاره‌خط AE است.
**چرا؟**
برای رسیدن به پاسخ، از کوچکترین پاره‌خط شروع کرده و به سمت بزرگترین پاره‌خط حرکت می‌کنیم:
1. چون E وسط AD است، پس طول AD دو برابر طول AE است: $\overline{AD} = ۲ \times \overline{AE}$
2. چون D وسط AC است، پس طول AC دو برابر طول AD است: $\overline{AC} = ۲ \times \overline{AD}$
3. چون C وسط AB است، پس طول AB دو برابر طول AC است: $\overline{AB} = ۲ \times \overline{AC}$
حالا این روابط را در هم جایگزین می‌کنیم:
$$\overline{AB} = ۲ \times \overline{AC} = ۲ \times (۲ \times \overline{AD}) = ۲ \times (۲ \times (۲ \times \overline{AE})) = ۸ \times \overline{AE}$$
بنابراین، $\overline{AB} = ۸\overline{AE}$.
۵_ در شکل روبه‌رو یک مربع و یک مثلث متساوی الاضلاع دیده می‌شود. چرا $\overline{BE} = \overline{AC}$؟
پاره‌خط $\overline{BE}$ با $\overline{AC}$ برابر است، زیرا هر دوی آنها با پاره‌خط مشترک $\overline{BC}$ برابر هستند.
**توضیح با استفاده از خواص شکل‌ها:**
1. **در مربع BCDE:** تمام ضلع‌ها با هم برابرند. بنابراین، طول ضلع **BE** با طول ضلع **BC** مساوی است.
($$\overline{BE} = \overline{BC}$$)
2. **در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC:** تمام ضلع‌ها با هم برابرند. بنابراین، طول ضلع **AC** با طول ضلع **BC** مساوی است.
($$\overline{AC} = \overline{BC}$$)
**نتیجه‌گیری (خاصیت تعدی):**
چون هر دو پاره‌خط $\overline{BE}$ و $\overline{AC}$ با یک پاره‌خط یکسان (یعنی $\overline{BC}$) برابر هستند، پس خودشان نیز باید با یکدیگر برابر باشند.
$$\overline{BE} = \overline{BC} \text{ و } \overline{AC} = \overline{BC} \implies \overline{BE} = \overline{AC}$$
۶_ دو خط‌کش ۲۰ سانتی‌متری را مانند شکل روبه‌رو، روی یک صفحهٔ کاغذ قرار داده‌ایم. طول این صفحه چند سانتی‌متر است؟
طول این صفحه **۲۶ سانتی‌متر** است.
**توضیح:**
1. خط‌کش اول از ابتدای صفحه (نقطه صفر) شروع می‌شود.
2. خط‌کش دوم در ادامه خط‌کش اول قرار گرفته، به طوری که نقطه صفر آن روی علامت **۶ سانتی‌متر** خط‌کش اول است.
3. طول خط‌کش دوم **۲۰ سانتی‌متر** است.
بنابراین، طول کل صفحه برابر با مجموع این دو بخش است:
$$\text{طول کل} = (\text{فاصله تا ابتدای خط‌کش دوم}) + (\text{طول خط‌کش دوم})$$
$$\text{طول کل} = ۶ \; cm + ۲۰ \; cm = ۲۶ \; cm$$
۷_ اندازهٔ قد علی را با a، اندازهٔ قد حسن را با b و اندازهٔ قد حسین را با c نشان می‌دهیم. رابطهٔ زیر را کامل کنید و نتیجه را به فارسی بنویسید.
این رابطه مثالی از **خاصیت تعدی** در نامساوی‌ها است.
**تکمیل رابطه:**
$$\left. \begin{aligned} a &> b \\ b &= c \end{aligned} \right\} \implies a > c$$
**نتیجه به فارسی:**
اگر قد علی از قد حسن بلندتر باشد و قد حسن با قد حسین برابر باشد، **نتیجه می‌گیریم که قد علی از قد حسین بلندتر است.**
